5. Точка K — середина стороны AB параллелограмма ABCD, точка M — середина стороны CD. Докажите, что четырёхугольник AKCM — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник AKCM.

1. Точки K и M — середины противоположных сторон параллелограмма ABCD, поэтому \(AK=KB\), а \(CM=MD\).
2. Так как в параллелограмме \(AB\parallel CD\), то отрезки \(AK\) и \(CM\), лежащие на этих сторонах, параллельны: \(AK\parallel CM\).
3. Введём векторы. Пусть \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), \(\overrightarrow{AD}=\vec d\). Тогда \(K=A+\dfrac12\vec b\), \(C=A+\vec b+\vec d\), \(M=A+\vec d+\dfrac12\vec b\).
4. Следовательно, \(\overrightarrow{KC}=\vec d+\dfrac12\vec b\), а \(\overrightarrow{AM}=\vec d+\dfrac12\vec b\). Значит, \(\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AM}\), поэтому \(KC\parallel AM\).
5. В четырёхугольнике AKCM противоположные стороны попарно параллельны: \(AK\parallel CM\) и \(KC\parallel AM\).

Следовательно, четырёхугольник AKCM является параллелограммом.