5. Точки M, K и N делят отрезок AB в отношениях 1 : 2, 1 : 3, 1 : 4, считая от точки A. Найдите, в каком отношении делит отрезок MN точка K.

Понимаем отношения от точки A как \(AM:MB=1:2\), \(AK:KB=1:3\), \(AN:NB=1:4\). Пусть \(AB=L\).

Тогда \(AM=L/3\), \(AK=L/4\), \(AN=L/5\). Порядок точек: \(A, K, M, N, B\).

Находим части отрезка \(MN\): \(MK=AM-AK=L/3-L/4=L/12\); \(KN=AN-AK=L/5-L/4\) по модулю равно \(L/20\).

Следовательно, \(MK:KN=(L/12):(L/20)=5:3\).

Ответ: точка K делит отрезок MN в отношении \(MK:KN=5:3\).