5. У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2) Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12121 переводит число 3 в число 151. Определите значение b.

Решение:

Пусть начальное число равно \( x_0 \). Команда \( 1 \) прибавляет \( 1 \) к числу, а команда \( 2 \) умножает число на \( b \).

Начальное число: \( x_0 = 3 \).

Программа: \( 12121 \).

Действия программы:

1. Команда \( 1 \): \( x_1 = x_0 + 1 = 3 + 1 = 4 \)
2. Команда \( 2 \): \( x_2 = x_1 \cdot b = 4b \)
3. Команда \( 1 \): \( x_3 = x_2 + 1 = 4b + 1 \)
4. Команда \( 2 \): \( x_4 = x_3 \cdot b = (4b + 1)b = 4b^2 + b \)
5. Команда \( 1 \): \( x_5 = x_4 + 1 = 4b^2 + b + 1 \)

Конечное число равно \( 151 \), следовательно:

\( 4b^2 + b + 1 = 151 \)

\( 4b^2 + b - 150 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( b \). Найдем дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-150) = 1 + 16 150 = 1 + 2400 = 2401 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{2401} = 49 \]

Так как \( b \) — натуральное число, нас интересует положительный корень.

\( b = \frac{-1 + 49}{2 4} = \frac{48}{8} = 6 \)

Проверим условие \( b 2 \). \( 6 2 \), условие выполняется.

Ответ: b = 6.