5) Упростить выражение: \(\frac{2\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\alpha}{\cos(\pi+\alpha)\sin^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha)-\sin(\pi-\alpha)\cos^3(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}\).

Question

Вопрос:

5) Упростить выражение: \(\frac{2\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\alpha}{\cos(\pi+\alpha)\sin^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha)-\sin(\pi-\alpha)\cos^3(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}\).

Accepted Answer

Применим формулы приведения: \(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\), \(\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha\), \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\).

Числитель равен \(2\sin\alpha\cos\alpha\). Знаменатель:

\((-\cos\alpha)(\cos^2\alpha)-(\sin\alpha)(\sin^3\alpha)=-\cos^3\alpha-\sin^4\alpha\).

Следовательно, выражение упрощается до \(\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha+\sin^4\alpha}\).

Ответ: \(-\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha+\sin^4\alpha}\).