6) Доказать тождество: \(( g\alpha-\sin\alpha)\left(\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}+\ctg\alpha\right)=\sin^2\alpha\).

Преобразуем множители, учитывая, что выражение определено при \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\).

\( g\alpha-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha}\).

\(\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}+\ctg\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}\).

Перемножим и применим разность квадратов:

\(\frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).

Следовательно, тождество доказано.