5. Упростить выражение: $\frac{2}{x-4}\cdot\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростить выражение: $\frac{2}{x-4}\cdot\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Тогда

$\frac{2}{x-4}\cdot\frac{x+8}{(x-4)(x+4)}-\frac{1}{x}=\frac{2(x+8)}{(x-4)^2(x+4)}-\frac{1}{x}$.

Общий знаменатель — $x(x-4)^2(x+4)$:

$\frac{2x(x+8)-(x-4)^2(x+4)}{x(x-4)^2(x+4)}$.

$(x-4)^2(x+4)=(x^2-8x+16)(x+4)=x^3-4x^2-16x+64$, а $2x(x+8)=2x^2+16x$. Следовательно, числитель равен $-x^3+6x^2+32x-64$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne -4,0,4$.

Ответ: $\frac{-x^3+6x^2+32x-64}{x(x-4)^2(x+4)}$, $x\ne -4,0,4$.

5. Упростить выражение: \(\frac{2}{x-4}\cdot\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}\).