5. Упростите выражение (а - 1)(а + 1)(1+a²) - (9 + a²)² и найдите его значение при b = 1/3.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( (a - 1)(a + 1)(1+a²) - (9 + a²)² \)

Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) к первым двум множителям:

\( (a^2 - 1)(1+a²) - (9 + a²)² \)

Так как \( (a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1 \), выражение примет вид:

\( (a^4 - 1) - (9 + a²)² \)

Теперь раскроем квадрат суммы \( (9 + a²)² = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 81 + 18a^2 + a^4 \).

Подставим это обратно в выражение:

\( a^4 - 1 - (81 + 18a^2 + a^4) \)

\( a^4 - 1 - 81 - 18a^2 - a^4 \)

Сократим \( a^4 \) и приведём подобные члены:

\( -1 - 81 - 18a^2 = -82 - 18a^2 \)

По условию задачи значение \( b \) равно \( \frac{1}{3} \), однако переменная \( b \) отсутствует в упрощённом выражении. Предположим, что имелось в виду значение \( a \), а не \( b \).

Если \( a = \frac{1}{3} \), то подставим это значение в упрощённое выражение:

\( -82 - 18 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \)

\( -82 - 18 \left( \frac{1}{9} \right) \)

\( -82 - \frac{18}{9} \)

\( -82 - 2 \)

\( -84 \)

Если же под \( b \) подразумевалась другая переменная, которая не вошла в упрощение, то значение выражения будет \( -82 - 18a^2 \).

Ответ: Упрощённое выражение \( -82 - 18a^2 \). Значение при \( a = \frac{1}{3} \) равно \( -84 \).