5. Упростите выражение: a) ((3xy)³ / x²y⁵) * ((-2s²t³)⁵ / (-4st⁹)³); б) ((a³)⁵(d⁴)²) / (-a²d)⁸ * (5w⁵(w²z³)⁴ / (2w⁶z)³);

Решение:

Используем правила степеней:

• $$(ab)^n = a^n b^n$$
• $$(a^m)^n = a^{mn}$$
• $$a^m / a^n = a^{m-n}$$
• $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
• $$(-a)^n = a^n$$ если $$n$$ — четное число, и $$-a^n$$ если $$n$$ — нечетное число.

1. а) $$\frac{(3xy)^3}{x^2y^5} \times \frac{(-2s^2t^3)^5}{(-4st^9)^3}$$
   • Первая дробь: $$\frac{3^3x^3y^3}{x^2y^5} = \frac{27x^{3-2}}{y^{5-3}} = \frac{27x}{y^2}$$.
   • Вторая дробь: $$\frac{(-2)^5(s^2)^5(t^3)^5}{(-4)^3s^3(t^9)^3} = \frac{-32s^{10}t^{15}}{-64s^3t^{27}} = \frac{32}{64}s^{10-3}t^{15-27} = \frac{1}{2}s^7t^{-12} = \frac{s^7}{2t^{12}}$$.
   • Объединяем: $$\frac{27x}{y^2} \times \frac{s^7}{2t^{12}} = \frac{27xs^7}{2y^2t^{12}}$$.
2. б) $$\frac{(a^3)^5(d^4)^2}{(-a^2d)^8} \times \frac{5w^5(w^2z^3)^4}{(2w^6z)^3}$$
   • Первая дробь: $$\frac{a^{15}d^8}{(-a^2)^8d^8} = \frac{a^{15}d^8}{a^{16}d^8} = a^{15-16}d^{8-8} = a^{-1}d^0 = \frac{1}{a}$$.
   • Вторая дробь: $$\frac{5w^5w^8z^{12}}{2^3(w^6)^3z^3} = \frac{5w^{5+8}z^{12}}{8w^{18}z^3} = \frac{5w^{13}z^{12}}{8w^{18}z^3} = \frac{5z^{12-3}}{8w^{18-13}} = \frac{5z^9}{8w^5}$$.
   • Объединяем: $$\frac{1}{a} \times \frac{5z^9}{8w^5} = \frac{5z^9}{8aw^5}$$.

Ответ: а) $$\frac{27xs^7}{2y^2t^{12}}$$; б) $$\frac{5z^9}{8aw^5}$$