6. Вычислите: a) (3¹² * (3⁴)⁵) / (3¹⁵)²; б) 25⁴ - 5 / 125³; в) 128⁵ / (32⁴ * 64²);

Решение:

Используем правила степеней:

• $$(a^m)^n = a^{mn}$$
• $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
• $$a^m / a^n = a^{m-n}$$

1. а) $$\frac{3^{12} \times (3^4)^5}{(3^{15})^2}$$:
   • В числителе: $$3^{12} \times 3^{4 \times 5} = 3^{12} \times 3^{20} = 3^{12+20} = 3^{32}$$.
   • В знаменателе: $$3^{15 \times 2} = 3^{30}$$.
   • Результат: $$3^{32} / 3^{30} = 3^{32-30} = 3^2 = 9$$.
2. б) $$25^4 - 5 / 125^3$$:
   • Приведем все числа к основанию 5: $$25 = 5^2$$, $$125 = 5^3$$.
   • Выражение становится: $$(5^2)^4 - 5 / (5^3)^3 = 5^8 - 5^1 / 5^9$$.
   • Сначала выполним деление: $$5^1 / 5^9 = 5^{1-9} = 5^{-8}$$.
   • Теперь вычитание: $$5^8 - 5^{-8}$$. Это сложно вычислить без калькулятора. Проверим условие задачи, возможно, в нем опечатка. Если предполагается, что $$125^3$$ — это знаменатель для всего выражения, то: $$(25^4 - 5) / 125^3 = ((5^2)^4 - 5) / (5^3)^3 = (5^8 - 5) / 5^9$$.
   • Предположим, что задача была: $$25^4 / (5 \times 125^3)$$: $$(5^2)^4 / (5^1 \times (5^3)^3) = 5^8 / (5^1 \times 5^9) = 5^8 / 5^{10} = 5^{8-10} = 5^{-2} = 1/25$$.
   • Если предположить, что задача была: $$(25^4 - 5^1) / 125^3$$: $$(625^2 - 5) / 125^3 = (390625 - 5) / 2197000 — слишком громоздко.
   • Если предположить, что в знаменателе только $$125^3$$ и нет $$5$$: $$25^4 / 125^3$$: $$(5^2)^4 / (5^3)^3 = 5^8 / 5^9 = 5^{-1} = 1/5$$.
   • Учитывая формат других задач, наиболее вероятно, что в условии ошибка и должно быть что-то вроде $$25^4 / 5^1$$ или $$25^4 / \(5 \times 125^3\)$$. Решим как $$25^4 / \(5 \times 125^3\)$$: $$(5^2)^4 / (5 \(\times\) (5^3)^3) = 5^8 / \(5 \times 5^9\) = 5^8 / 5^{10} = 5^{-2} = 1/25$$.
3. в) $$128^5 / \(32^4 \times 64^2\)$$:
   • Приведем все числа к основанию 2: $$128 = 2^7$$, $$32 = 2^5$$, $$64 = 2^6$$.
   • Выражение становится: $$(2^7)^5 / ((2^5)^4 \(\times\) (2^6)^2) = 2^{35} / \(2^{20} \times 2^{12}\) = 2^{35} / 2^{20+12} = 2^{35} / 2^{32} = 2^{35-32} = 2^3 = 8$$.

Ответ: а) 9; б) $$1/25$$ (при допущении об ошибке в условии); в) 8