5. В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = CD и AB ∥ CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники BAC и DCA.

1. AB = CD — по условию.
2. AC — общая сторона.
3. ∠BAC = ∠DCA, поскольку AB ∥ CD и AC является секущей.
4. Треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Из равенства треугольников следует, что ∠BCA = ∠DAC, поэтому BC ∥ AD (накрест лежащие углы равны).
6. Уже дано, что AB ∥ CD. Значит, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.