5. В группе учатся 25 студентов, из них 17 человек сдали зачёт по высшей математике и 10 человек сдали зачёт по физкультуре. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 2 студента из этой группы сдали зачёты и по высшей математике, и по физкультуре. 2) Если студент этой группы сдал зачёт по высшей математике, то он сдал и зачёт по физкультуре. 3) В этой группе найдётся 9 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по высшей математике, и по физкультуре.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта. По принципу включения-исключения:

Число сдавших хотя бы один зачёт равно 17 + 10 − x и не может превышать 25. Поэтому x ≥ 2. Также x ≤ 10, так как физкультуру сдали всего 10 человек.

1. Истинно: оба зачёта сдали как минимум 2 студента.
2. Ложно: из данных не следует, что все 17 сдавших высшую математику сдали физкультуру; их пересечение не может превышать 10.
3. Ложно: не сдавших ни одного — 25 − (17 + 10 − x) = x − 2, то есть от 0 до 8, а не 9.
4. Истинно: пересечение не превышает 10, значит, оно меньше 11.

Ответ: 1, 4.