5. В группе учится 20 студентов, из них 15 сдали зачёт по истории и 10 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по русскому языку.

Обозначим через \(x\) число студентов, сдавших оба зачёта.

1. Так как всего зачёты сдали \(15+10=25\) раз, а студентов 20, то по принципу включения–исключения \(x\ge 25-20=5\). Утверждение истинно.
2. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно \(20-(15+10-x)=x-5\). Оно может быть не более 5, поэтому 6 студентов найти нельзя. Утверждение ложно.
3. Максимально оба зачёта могли сдать \(10\) студентов, поэтому это число всегда меньше 11. Утверждение истинно.
4. Число студентов, сдавших русский язык, но не сдавших историю, равно \(10-x\le 5\). Утверждение ложно.

Ответ: 1, 3.