5. В классе 8 учеников. Сколькими способами можно: а) построить их в шеренгу; б) два определённых ученика должны стоять рядом?

а) Для восьми учеников число возможных порядков равно:

\(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40\,320\).

б) Считаем двух определённых учеников одним блоком. Тогда нужно расположить 7 объектов: этот блок и ещё 6 учеников. Внутри блока два ученика могут поменяться местами двумя способами.

\(7!\cdot2=5040\cdot2=10\,080\).

Ответ: а) 40 320 способов; б) 10 080 способов.