5. В коробке 12 синих и 8 красных карандашей. По очереди вынимают три карандаша. Найдите вероятность того, что два карандаша будут синими.

Решение:

Всего карандашей в коробке: \( 12 + 8 = 20 \).

Найдем вероятность того, что два карандаша будут синими, а один - красным. Возможны следующие последовательности вытягивания карандашей:

1. Синий, Синий, Красный (С-С-К)
2. Синий, Красный, Синий (С-К-С)
3. Красный, Синий, Синий (К-С-С)

Рассчитаем вероятность для каждой последовательности:

1. P(С-С-К)

Вероятность вытянуть первый синий карандаш: \( P(C_1) = \frac{12}{20} \)

Вероятность вытянуть второй синий карандаш (при условии, что первый был синий): \( P(C_2|C_1) = \frac{11}{19} \)

Вероятность вытянуть красный карандаш (при условии, что первые два были синие): \( P(K_3|C_1, C_2) = \frac{8}{18} \)

\( P(C-C-K) = \frac{12}{20} \times \frac{11}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{1056}{6840} \)

2. P(С-К-С)

Вероятность вытянуть первый синий карандаш: \( P(C_1) = \frac{12}{20} \)

Вероятность вытянуть красный карандаш: \( P(K_2|C_1) = \frac{8}{19} \)

Вероятность вытянуть второй синий карандаш: \( P(C_3|C_1, K_2) = \frac{11}{18} \)

\( P(C-K-C) = \frac{12}{20} \times \frac{8}{19} \times \frac{11}{18} = \frac{1056}{6840} \)

3. P(К-С-С)

Вероятность вытянуть первый красный карандаш: \( P(K_1) = \frac{8}{20} \)

Вероятность вытянуть первый синий карандаш: \( P(C_2|K_1) = \frac{12}{19} \)

Вероятность вытянуть второй синий карандаш: \( P(C_3|K_1, C_2) = \frac{11}{18} \)

\( P(K-C-C) = \frac{8}{20} \times \frac{12}{19} \times \frac{11}{18} = \frac{1056}{6840} \)

Общая вероятность того, что два карандаша будут синими, равна сумме вероятностей этих трех последовательностей:

\( P(\text{два синих}) = P(C-C-K) + P(C-K-C) + P(K-C-C) = 3 \times \frac{1056}{6840} = \frac{3168}{6840} \)

Упростим дробь:

\( \frac{3168}{6840} = \frac{1584}{3420} = \frac{792}{1710} = \frac{396}{855} = \frac{132}{285} = \frac{44}{95} \)

Ответ: \( \frac{44}{95} \).