5. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что АС = AD.

Дано: Окружность с центром О, диаметр АВ, хорды АС и AD.

Условие: ∠BAC = ∠BAD.

Доказать: АС = AD.

Доказательство:

1. Равные центральные углы: Углы ∠BAC и ∠BAD являются вписанными углами. Поскольку они равны по условию, то и дуги, на которые они опираются, равны. Дуга BC равна дуге BD.
2. Равные хорды: Хорды, которые опираются на равные дуги, также равны. Следовательно, хорда АС равна хорде AD.

Что и требовалось доказать.