5. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ.

Решение:

Угол \( AOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AD \). Следовательно, градусная мера дуги \( AD \) равна градусной мере центрального угла \( AOD \), то есть \( \text{arc} AD = 108^{\circ} \).

Угол \( AOD \) и угол \( BOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 108^{\circ} \).

Угол \( AOC \) — развёрнутый, так как \( AC \) — диаметр. Угол \( BOD \) — развёрнутый, так как \( BD \) — диаметр.

Угол \( AOB \) и \( COD \) — вертикальные. Также, \( \angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол \( BOD \)).

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \].

Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).

Градусная мера дуги \( AB \) равна градусной мере центрального угла \( AOB \), то есть \( \text{arc} AB = 72^{\circ} \).

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{arc} AB = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \]

Ответ: 36°.