5. * В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A – B – K, D – C – P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. Найдите M₁M₂.

Обозначим единичный вектор вдоль AB через e, а единичный вектор вдоль AD через v. Тогда \(|AD|=6\), и можно задать точки так: \(D=0,\ C=Le,\ A=6v,\ B=Le+6v\), где L — длина AB.

Направления биссектрис углов ABC и BCD пропорциональны соответственно \(-e-v\) и \(v-e\). Их пересечение — точка M₁. Направления биссектрис углов KBC и BCP пропорциональны \(e-v\) и \(e+v\); их пересечение — точка M₂.

Решая уравнения этих пар прямых, получаем \(M_1=\frac{L}{2}(e-v)+3v\) и \(M_2=\frac{L}{2}(e-v)\). Поэтому \(\overrightarrow{M_1M_2}=-3v\), а длина этого вектора равна \(3|v|=3\).

Ответ: M₁M₂ = 3 см.