5. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол диагоналей параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим меньший угол между диагоналями через \(\varphi\). Так как \(AB \parallel CD\), угол между прямыми \(AC\) и \(AB\) равен острому углу между \(AC\) и \(CD\): \(180^\circ-169^\circ=11^\circ\).

Пусть \(AB=a\). Тогда \(AC=2a\). Рассмотрим треугольник \(ABC\): угол при \(A\) равен \(11^\circ\), а сторона \(AC\) вдвое больше \(AB\). По теореме синусов, если \(\beta=\angle ABC\), то \(\sin\beta=2\sin 11^\circ\), откуда \(\beta\approx22.3^\circ\). Следовательно, \(\angle ACB=180^\circ-11^\circ-\beta\approx146.7^\circ\).

В параллелограмме диагонали пересекаются, а угол между их направлениями равен углу между прямыми \(AC\) и \(BD\). Из полученной конфигурации этот угол равен \(\beta-11^\circ\approx11.3^\circ\).

Ответ: примерно 11,3°.