5. В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC, AB = CD) диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что AO = DO и BO = CO.

Так как AD ∥ BC, углы ∠ADO и ∠CBO равны как накрест лежащие при секущей BD. Углы ∠AOD и ∠COB равны как вертикальные. Кроме того, AD = BC? Это не следует из условия, поэтому для доказательства используем симметрию равнобедренной трапеции.

У равнобедренной трапеции ось симметрии перпендикулярна основаниям и проходит через их середины. Она переводит вершины A и D друг в друга, B и C — друг в друга, а диагональ AC — в диагональ DB. Их точка пересечения O лежит на оси симметрии, поэтому симметрия переводит отрезок AO в DO, а BO — в CO.

Симметричные отрезки равны, следовательно, \(AO=DO\) и \(BO=CO\).