5. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Пусть основания трапеции AB и CD параллельны. Так как BD ⟂ AB, а AB ∥ CD, то BD ⟂ CD.

В прямоугольном треугольнике ABD угол D равен 30°, поэтому катет AB, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AD. Обозначим AB за \(x\). Тогда \(AD = 2x\), а по теореме Пифагора \(BD = \sqrt{3}x\).

В прямоугольном треугольнике BCD угол D также равен 30°. Следовательно, \(BC = BD / \sqrt{3} = x\), а \(CD = 2BD / \sqrt{3} = 2x\).

По условию периметр равен 60 см:

\(AB + BC + CD + AD = x + x + 2x + 2x = 6x = 60\), откуда \(x = 10\) см.

Значит, \(AD = 2x = 20\) см.

Ответ: 20 см.