5. В трапеции NSEB NS = EB, ∠NSB = ∠ESB, периметр трапеции равен 78 см. Найдите её стороны, если основания относятся как 6:11.

Так как NS = EB, равны боковые стороны трапеции, а её основания — SE и NB. Обозначим основания SE = 6x и NB = 11x. Трапеция равнобокая, поэтому горизонтальные проекции боковых сторон равны и каждая составляет (11x − 6x) / 2 = 2,5x.

Пусть высота трапеции равна h, а боковая сторона NS — L. Возьмём S за начало координат: тогда можно задать E = (6x, 0), N = (−2,5x, h), B = (8,5x, h). Направление биссектрисы угла NSE задаётся суммой единичных векторов вдоль SN и SE: его наклон равен (h/L) / (1 − 2,5x/L). Наклон SB равен h/(8,5x). По условию SB — биссектриса, поэтому эти наклоны равны: h/(8,5x) = (h/L)/(1 − 2,5x/L). После сокращения получаем L = 11x. Следовательно, обе боковые стороны равны 11x.

Периметр: 6x + 11x + 11x + 11x = 78, то есть 39x = 78 и x = 2.

Ответ: NS = EB = 22 см, SE = 12 см, NB = 22 см.