5. В треугольнике ABC проведена медиана BM, отрезки MK ∥ AB, KN ∥ AC (K ∈ BC, N ∈ BM). Найдите периметр четырёхугольника ANKC, если KC = 7 см, AC = 16 см, BN = 9 см.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\):

\[AM=MC=\frac{AC}{2}=8\text{ см}.\]

В треугольнике \(ABC\) прямая \(MK\parallel AB\), поэтому \(K\) — середина \(BC\). Следовательно,

\[BC=2KC=2\cdot7=14\text{ см}.\]

В треугольнике \(BMC\) отрезок \(KN\parallel MC\), поэтому \(N — середина \(BM\). Тогда

\[BM=2BN=2\cdot9=18\text{ см}.\]

По теореме Аполлония для медианы \(BM\):

\[AB^2+BC^2=2\left(BM^2+AM^2\right),\]

\[AB^2+14^2=2\left(18^2+8^2\right),\]

\[AB^2=968-196=772.\]

Исправим применение теоремы: медиана \(BM\) проведена к стороне \(AC\), поэтому

\[AB^2+BC^2=2\left(BM^2+AM^2\right)=2(324+64)=776,\]

\[AB^2=776-196=580.\]

В треугольнике \(ABM\) точка \(N\) — середина \(BM\). По теореме Аполлония:

\[AN^2=\frac{2AB^2+2AM^2-BM^2}{4}=\frac{2\cdot580+2\cdot64-324}{4}=241.\]

Значит, \(AN=\sqrt{241}\) см.

Так как \(N\) и \(K\) — середины двух сторон треугольника \(BMC\), то

\[NK=MC=8\text{ см}.\]

Периметр четырёхугольника \(ANKC\):

\[P_{ANKC}=AN+NK+KC+CA=\sqrt{241}+8+7+16=31+\sqrt{241}\text{ см}.\]

Ответ: \(31+\sqrt{241}\) см.