5. В треугольнике АВС биссектриса CN и высота BH пересекаются под углом 50°. Найдите угол ВАС, если ∠ABH: ∠CBH = 5:1. Ответ дайте в градусах.

Пусть \( \angle CBH = x \). Тогда \( \angle ABH = 5x \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle BCH = 90° - \angle CBH = 90° - x \).

Так как \( BH \) — высота, \( \angle BHC = 90° \).

В треугольнике BHC, \( \angle BCH = 90° - x \).

В треугольнике ABH, \( \angle BAH = 90° - \angle ABH = 90° - 5x \).

Угол \( \angle BHC = 90° \).

В треугольнике BHC, \( \angle C = 90° - x \).

В треугольнике ABH, \( \angle A = 90° - 5x \).

В треугольнике ABC, \( \angle C = 90° - x \), \( \angle A = 90° - 5x \). Угол \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = 5x + x = 6x \).

Сумма углов треугольника ABC: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \)

\( (90° - 5x) + 6x + (90° - x) = 180° \)

\( 180° = 180° \)

Это не помогает найти x.

Рассмотрим пересечение биссектрисы CN и высоты BH. Пусть точка их пересечения — O. Угол \( \angle BOC = 50° \).

В треугольнике BOC, \( \angle OBC = x \), \( \angle OCB = \angle C = 90° - x \). Угол \( \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - x - (90° - x) = 90° \). Это не так.

Угол \( \angle BOH = 90° \).

Рассмотрим треугольник BOK, где K — точка пересечения CN и BH. \( \angle BKO = 50° \).

Угол \( \angle ABH = 5x \).

В треугольнике ABH: \( \angle BAH = 90° - 5x \).

В треугольнике CBH: \( \angle BCH = 90° - x \).

\( CN \) — биссектриса, значит \( \angle BCN = \angle ACN = \frac{\angle C}{2} \).

\( \angle C = 90° - x \). Значит \( \angle BCN = \frac{90° - x}{2} = 45° - \frac{x}{2} \).

В треугольнике BOC, \( \angle BOC = 50° \).

\( \angle OBC = x \).

\( \angle OCB = 45° - \frac{x}{2} \).

Сумма углов в треугольнике BOC: \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180° \)

\( x + (45° - \frac{x}{2}) + 50° = 180° \)

\( x + 45° - \frac{x}{2} + 50° = 180° \)

\( \frac{x}{2} + 95° = 180° \)

\( \frac{x}{2} = 180° - 95° \)

\( \frac{x}{2} = 85° \)

\( x = 170° \). Это невозможно, так как \( \angle CBH \) — угол в треугольнике.

Давайте перечитаем условие: биссектриса CN и высота BH пересекаются под углом 50°.

Пусть O — точка пересечения CN и BH. \( \angle B O C = 50° \).

В прямоугольном треугольнике BHС: \( \angle C = 90° - \angle CBH \).

Пусть \( \angle CBH = x \), тогда \( \angle ABH = 5x \). \( \angle ABC = 6x \).

\( \angle C = 90° - x \).

\( CN \) — биссектриса \( \angle C \), значит \( \angle BCN = \angle ACN = \frac{\angle C}{2} = \frac{90° - x}{2} \).

В треугольнике BOC: \( \angle BOC = 50° \). \( \angle OBC = x \). \( \angle OCB = \angle BCN = \frac{90° - x}{2} \).

Сумма углов треугольника BOC: \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180° \).

\( x + \frac{90° - x}{2} + 50° = 180° \)

\( x + 45° - \frac{x}{2} + 50° = 180° \)

\( \frac{x}{2} + 95° = 180° \)

\( \frac{x}{2} = 85° \)

\( x = 170° \). Опять неверно. Возможно, угол 50° — это \( \angle COB \) или \( \angle HOC \)?

Пусть O — точка пересечения BH и CN. \( \angle B O C = 50° \). Это угол, образованный биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольник ABH. \( \angle ABH = 5x \), \( \angle BAH = 90° - 5x \).

Рассмотрим треугольник CBH. \( \angle CBH = x \), \( \angle BCH = 90° - x \).

\( CN \) — биссектриса, \( \angle BCN = \frac{90° - x}{2} \).

Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен \( |\angle C - \angle B| / 2 \).

Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 50° \).

В треугольнике BHC, \( \angle C = 90° - x \).

В треугольнике ABC, \( \angle A = 90° - 5x \), \( \angle B = 6x \), \( \angle C = 90° - x \).

\( \angle A + \angle B + \angle C = (90° - 5x) + 6x + (90° - x) = 180° \)

\( \angle C = 90° - x \).

\( \angle A = 90° - 5x \).

Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен \( | \angle C - \angle B | / 2 \) - это не совсем верно. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен \( | \angle A - \angle C | / 2 \) если они из разных вершин.

Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 50° \). Пусть O — точка их пересечения.

В треугольнике BOC, \( \angle OBC = x \), \( \angle OCB = \frac{90°-x}{2} \), \( \angle BOC = 180° - (x + \frac{90°-x}{2}) = 180° - (\frac{2x+90°-x}{2}) = 180° - \frac{x+90°}{2} \).

Если \( \angle BOC = 50° \), то \( 50° = 180° - \frac{x+90°}{2} \) → \( \frac{x+90°}{2} = 130° \) → \( x+90° = 260° \) → \( x = 170° \), что не подходит.

Если \( \angle HOC = 50° \) (смежный с \( \angle BOC \)), то \( \angle BOC = 130° \).

\( 130° = 180° - \frac{x+90°}{2} \) → \( \frac{x+90°}{2} = 50° \) → \( x+90° = 100° \) → \( x = 10° \).

Если \( x = 10° \), то \( \angle CBH = 10° \), \( \angle ABH = 50° \).

\( \angle C = 90° - 10° = 80° \).

\( \angle A = 90° - 50° = 40° \).

Проверка: \( \angle A + \angle B + \angle C = 40° + (50°+10°) + 80° = 40° + 60° + 80° = 180° \). Верно.

Проверим угол между биссектрисой и высотой.

\( \angle C = 80° \). \( CN \) — биссектриса, \( \angle BCN = 40° \).

\( \angle BCH = 80° \).

\( \angle CBH = 10° \). \( BH \) — высота, \( \angle BHC = 90° \). \( \angle BCH = 80° \).

Угол \( \angle OCB = \angle BCN = 40° \).

Угол \( \angle OBC = \angle CBH = 10° \).

В треугольнике BOC, \( \angle BOC = 180° - (40° + 10°) = 180° - 50° = 130° \).

Угол \( \angle HOC = 180° - 130° = 50° \).

Это совпадает с условием (угол между биссектрисой и высотой равен 50°).

Нам нужно найти \( \angle BAC \). \( \angle BAC = \angle A = 40° \).

Ответ: 40