5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5, АС = 9. Найдите АВ.

Привет! Давай решим эту задачку. Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°
• sin A = ⅛
• AC = 9

Найти:

• AB

Решение:

По определению синуса:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

По определению косинуса:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Мы знаем sin A, но нам нужен cos A, чтобы найти AB через AC. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Подставим значение sin A:

\[ (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

Так как A — угол треугольника, то cos A > 0. Возьмем квадратный корень:

\[ \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]

Теперь используем определение косинуса:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

\[ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \]

Выразим AB:

\[ AB = \frac{9 × 5}{3} \]

Сократим 9 и 3:

\[ AB = 3 × 5 \]

\[ AB = 15 \]

Ответ:

15