5. В треугольнике АВС высота ВД делит сторону АС на отрезки АД и ДС, АВ=12см, ∠A=60°, ∠СВА=45°. Найти сторону АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABD, угол A равен 60°, а сторона AB = 12 см. Высота BD является катетом, противолежащим углу A.

Найдем длину высоты BD:

\[ BD = AB \times \sin(A) \]

\[ BD = 12 \times \sin(60^{\circ}) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Найдем длину отрезка AD:

\[ AD = AB \times \cos(A) \]

\[ AD = 12 \times \cos(60^{\circ}) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Угол CВА = 45°, значит, угол CBD = ∠CBA - ∠DBA = 45° - (90° - 60°) = 45° - 30° = 15°. Этот путь сложен. Лучше найти угол C.

В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. ∠C = 180° - ∠A - ∠CBA = 180° - 60° - 45° = 75°.

В прямоугольном треугольнике BDC, угол C равен 75°, а катет BD = 6√3 см.

Найдем длину отрезка DC:

\[ DC = \frac{BD}{\tan(C)} \]

\[ DC = \frac{6\sqrt{3}}{\tan(75^{\circ})} \]

Значение \( \tan(75^{\circ}) = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tan(45^{\circ}) + \tan(30^{\circ})}{1 - \tan(45^{\circ})\tan(30^{\circ})} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3} \]

\[ DC = \frac{6\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{12\sqrt{3} - 18}{4 - 3} = 12\sqrt{3} - 18 \text{ см} \]

Найдем сторону АС:

\[ AC = AD + DC \]

\[ AC = 6 + (12\sqrt{3} - 18) \]

\[ AC = 12\sqrt{3} - 12 \text{ см} \]

Ответ: \( 12\sqrt{3} - 12 \) см