5. В треугольнике АВС высота ВД делит сторону АС на отрезки АД и ДС, АВ=12см, ∠A=60°, ∠СВАД=45°. Найти сторону АС.

Решение:

В \( \triangle ABD \) — прямоугольном (так как \( BD \) — высота), \( \text{∠} A = 60° \) и \( AB = 12 \) см.

Найдем катет \( AD \) через синус угла \( A \):

\[ AD = AB \cdot \sin(\text{∠} A) = 12 \text{ см} \cdot \sin(60°) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

В \( \triangle BDC \) — прямоугольном, \( \text{∠} CBD = 45° \). Следовательно, \( \triangle BDC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( BD = DC \).

Сначала найдем высоту \( BD \) из \( \triangle ABD \) через косинус угла \( A \):

\[ BD = AB \cdot \cos(\text{∠} A) = 12 \text{ см} \cdot \cos(60°) = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

Так как \( BD = DC \), то \( DC = 6 \) см.

Теперь найдем сторону \( AC \):

\[ AC = AD + DC = 6\sqrt{3} \text{ см} + 6 \text{ см} = 6(\sqrt{3} + 1) \text{ см} \]

Ответ: \( 6(\sqrt{3} + 1) \) см.