5. В треугольнике KHN найдите сторону KN, если KH = 2√2, HN = 5, ∠H = 45°. а) 5; б) 3; в) √13.

Применим теорему косинусов к стороне KN, лежащей напротив угла H:

\(KN^2=KH^2+HN^2-2\cdot KH\cdot HN\cdot\cos H\).

Подставим данные: \(KN^2=(2\sqrt2)^2+5^2-2\cdot2\sqrt2\cdot5\cdot\cos45^\circ\).

Так как \((2\sqrt2)^2=8\) и \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), получаем \(KN^2=8+25-20=13\). Длина положительна, поэтому \(KN=\sqrt{13}\).

Ответ: в) √13.