5. В треугольнике QMN: QN = 12, QM = 6, MN = 10. MK ⟂ QN. Найдите x = MK и y = KN.

Так как MK — высота, треугольники QMK и MKN прямоугольные.

Из треугольника QMN найдём проекцию QK. По теореме Пифагора: \(QK^2+MK^2=QM^2\), а \(KN=12-QK\). Также \(KN^2+MK^2=MN^2\).

Вычитая первое равенство из второго с учётом \(QK+KN=12\), получаем \(MN^2-QM^2=KN^2-QK^2=(KN-QK)\cdot12\). Следовательно, \(KN-QK=(100-36)/12=16/3\).

Решаем систему \(KN+QK=12\), \(KN-QK=16/3\): \(KN=26/3\), \(QK=10/3\).

Тогда \(MK^2=QM^2-QK^2=36-100/9=224/9\), поэтому \(MK=4\sqrt{14}/3\).

Ответ: x = \(4\sqrt{14}/3\), y = \(26/3\).