№ 5. В центре города есть круглая площадь с центром в точке О. От здания администрации города, расположенного в точке С, мимо площади проходит прямая дорога — касательная к окружности (Н — точка касания). Расстояние от здания администрации до центра площади равно 16 м, а угол между СО и радиусом площади, проведённым в точку Н, равен 60°. Чему равен радиус площади?

Решение:

1. Визуализация задачи:

У нас есть окружность (площадь) с центром в точке О. Точка С — это здание администрации. Прямая, проходящая через С, является касательной к окружности в точке Н. Расстояние от С до О (CH) равно 16 м. Угол ∠SCH равен 60°.

2. Свойства касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, радиус OH перпендикулярен касательной CH. Это означает, что угол ∠OHC равен 90°.

3. Рассмотрим треугольник OHC:

Мы имеем прямоугольный треугольник OHC, где:

• ∠OHC = 90° (угол между радиусом и касательной)
• CH = 16 м (расстояние от здания до центра площади)
• ∠SCH = 60° (дан по условию)

4. Нахождение радиуса OH:

В прямоугольном треугольнике OHC, угол ∠SCH = 60°. Мы можем использовать тригонометрические соотношения. Нам нужно найти длину стороны OH, которая является противолежащей катетом к углу ∠SCH. Сторона CH является прилежащим катетом к этому углу.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ an( ext{угол}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} \]

\[ an(60°) = rac{OH}{CH} \]

\[ an(60°) = rac{OH}{16} \]

Значение The root of 3. We know that The root of 3 is approximately 1.732.

\[ OH = 16 imes an(60°) \]

\[ OH = 16 imes ext{sqrt(3)} \]

\[ OH ≈ 16 imes 1.732 \]

\[ OH ≈ 27.712 \]

Ответ: Радиус площади равен 16 √3 м (приблизительно 27.71 м).