5. В ёмкость в форме кубоида длиной 90 см, шириной 45 см и высотой 30 см поместили несколько кубов, ребро которых является целым числом (см). а) Какой может быть наибольшая длина ребра куба? б) Каким может быть наибольший объём каждого куба? в) Какое наименьшее число кубов можно поместить в ёмкость?

а) Чтобы кубы целиком помещались в ёмкость, длина его ребра должна быть общим делителем чисел 90, 45 и 30. Наибольший такой делитель:

\[\operatorname{НОД}(90,45,30)=15\text{ см}.\]

б) Объём куба с ребром 15 см:

\[V=15^3=3375\text{ см}^3.\]

в) При ребре 15 см вдоль каждого измерения поместится:

\[90:15=6,\qquad45:15=3,\qquad30:15=2.\]

Общее количество кубов:

\[6\times3\times2=36.\]

Ответ: а) 15 см; б) 3375 см³; в) 36 кубов.