Ответ:

а) Я не почёл нужным оспаривать мнение казака и с ним вместе отправился в комендантский дом. Запятая не нужна: однородные сказуемые «не почёл» и «отправился» соединены одиночным союзом «и».

б) Через минуту мы выехали из слободы и помчались по гладкой дороге. Запятая не нужна: однородные сказуемые соединены одиночным союзом «и».

в) Разговор у коменданта продолжался, но я уже в него не мешался и ничего не слушал. Запятая перед «но» разделяет части сложного предложения. «Не мешался» и «не слушал» — однородные сказуемые, соединённые одиночным «и».

г) Через час урядник принёс мне пропуск, подписанный каракулями Пугачёва, и позвал меня к нему от его имени. Причастный оборот «подписанный каракулями Пугачёва» стоит после определяемого слова «пропуск» и обособляется. Однородные сказуемые «принёс» и «позвал» соединены одиночным «и».

Сложное предложение: в).