5. Вычислите \( \cos \frac{11\pi}{3} \)

Решение:

Нам нужно вычислить значение косинуса угла \( \frac{11\pi}{3} \).

1. Угол \( \frac{11\pi}{3} \) можно представить как \( \frac{12\pi - \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3} \).
2. Косинус является периодической функцией с периодом \( 2\pi \). Это значит, что \( \cos(x + 2n\pi) = \cos(x) \), где \( n \) — целое число.
3. Поскольку \( 4\pi = 2 · 2\pi \), то \( \cos(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) \).
4. Косинус — чётная функция, то есть \( \cos(-x) = \cos(x) \).
5. Следовательно, \( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) \).
6. Значение \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).