5. Вычислите: \(\frac{5^9 \cdot 10^9}{5^{9}} \cdot \frac{5 \cdot 2^{32} - 8 \cdot 2^{29}}{4^{16}}\)

Это задание выглядит сложным, но мы справимся, если разберем его по частям и будем использовать свойства степеней.

Первая дробь: \(\frac{5^9 \cdot 10^9}{5^{9}}\)

1. Сначала заметим, что \(5^9\) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем их сократить.
2. \(\frac{\cancel{5^9} \cdot 10^9}{\cancel{5^{9}}} = 10^9\)

Вторая дробь: \(\frac{5 \cdot 2^{32} - 8 \cdot 2^{29}}{4^{16}}\)

1. Преобразуем числитель: Нам нужно привести степени двойки к одному показателю. Удобнее всего взять наименьший показатель — 29.
• \(2^{32} = 2^{29+3} = 2^{29} \cdot 2^3 = 2^{29} \cdot 8\)
2. Теперь подставим это в числитель:
• \(5 \cdot (2^{29} \cdot 8) - 8 \cdot 2^{29} = 5 \cdot 8 \cdot 2^{29} - 8 \cdot 2^{29} = 40 \cdot 2^{29} - 8 \cdot 2^{29}\)
3. Вынесем общий множитель \(2^{29}\):
• \((40 - 8) \cdot 2^{29} = 32 \cdot 2^{29}\)
4. Преобразуем знаменатель: \(4^{16}\). Так как \(4 = 2^2\), то:
• \(4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{2 \times 16} = 2^{32}\)
5. Теперь вся вторая дробь выглядит так:
• \(\frac{32 \cdot 2^{29}}{2^{32}}\).
6. Упростим эту дробь:
• \(32 = 2^5\)
• \(\frac{2^5 \cdot 2^{29}}{2^{32}} = \frac{2^{5+29}}{2^{32}} = \frac{2^{34}}{2^{32}} = 2^{34-32} = 2^2 = 4\)

Соединяем результаты:

Теперь умножим результаты первой и второй дробей:

\[ 10^9 \cdot 4 = 4 \times 10^9 \]

Ответ: \(4 \times 10^9\)