5. Высота BK, проведённая из вершины тупого угла ромба ABCD к стороне AD, образует со стороной AB угол 30°. Найдите диагональ BD ромба, если отрезок AK = 5 см, а точка K лежит на стороне AD.

Так как BK ⟂ AD, треугольник ABK прямоугольный, а ∠ABK = 30°. Тогда ∠BAK = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABK сторона AK лежит напротив угла 30°, поэтому AB = 2AK = 10 см. Это сторона ромба.

Соседний угол ромба при A равен 60°, значит тупой угол при B равен 120°. По теореме косинусов для треугольника ABD:

BD² = AB² + AD² − 2 · AB · AD · cos 120° = 100 + 100 + 100 = 300.

Ответ: BD = 10√3 см.