5. Высота BM, проведённая из вершины тупого угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD. Треугольник ABM прямоугольный, причём ∠ABM = 30°. Сторона AM лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы: AB = 2 · AM = 8 см.

Все стороны ромба равны, значит AD = 8 см. Тогда MD = AD − AM = 8 − 4 = 4 см.

В прямоугольном треугольнике BMD катеты BM и MD равны. По теореме Пифагора:

BD² = BM² + MD². Из треугольника ABM: BM² = AB² − AM² = 8² − 4² = 48. Поэтому BD² = 48 + 4² = 64, откуда BD = 8 см.

Ответ: 8 см.