5. * Высота BM, проведённая из вершины угла A ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD и треугольник ABM прямоугольный, с прямым углом при M. Угол между BM и AB равен 30°, следовательно, ∠ABM = 30°, а ∠BAM = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы AB. Значит, AB = 2 · 4 = 8 см. Все стороны ромба равны, следовательно, AD = 8 см.

Диагональ BD образует с AD угол 60°: в треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол BAD равен ∠BAM = 60°. Поэтому треугольник ABD равносторонний, и BD = AD = 8 см.

Ответ: 8 см.