5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует с боковой AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то \(BM\perp AD\). В треугольнике ABM угол M равен 90°, а угол B равен 30°, поэтому угол A равен 60°.

Пусть сторона ромба равна \(a\). Диагональ AC является стороной треугольника ABC, в котором AB = BC = \(a\), а угол ABC равен 120° (соседний с углом ромба 60°). По теореме косинусов:

\(AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos120°=3a^2\), значит, \(a=6/\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол B равен 30°, поэтому катет AM, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB: \(AM=a/2=\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(\sqrt{3}\) см.