5.* Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 5 см. Точка M лежит на стороне AD. Найдите длину диагонали BD ромба.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD, и треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. Угол между BM и AB равен 30°, а AM = 5 см.

В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза AB = 2 · AM = 10 см. Все стороны ромба равны, значит AD = 10 см.

Тогда MD = AD − AM = 10 − 5 = 5 см. В прямоугольном треугольнике BMD:

BM = √(AB² − AM²) = √(10² − 5²) = 5√3 см.

По теореме Пифагора BD = √(BM² + MD²) = √((5√3)² + 5²) = √100 = 10 см.

Ответ: 10 см.