5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 8 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Поскольку BM — высота к стороне AD, BM ⟂ AD, значит треугольник ABM прямоугольный, а ∠AMB = 90°. По условию ∠ABM = 30°, поэтому ∠BAM = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит напротив угла 30°, следовательно, гипотенуза AB вдвое больше: AB = 2 · 8 = 16 см. Все стороны ромба равны, поэтому AD = AB = 16 см.

Так как M лежит на AD, угол BAD равен ∠BAM, то есть 60°. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол между ними равен 60°. Следовательно, треугольник ABD равносторонний и BD = 16 см.

Ответ: 16 см.