5. Выведите формулу, по которой можно определить скорость электрона на любой стационарной круговой орбите.

Ответ: Из третьего постулата Бора имеем:

$$ m_e v r = n \frac{h}{2\pi} $$

Из второго постулата Бора, при переходе электрона с орбиты $$i$$ на орбиту $$f$$, излучается квант света с энергией $$h
u = E_i - E_f$$.

Для атома водорода, радиус $$n$$-й орбиты определяется формулой:

$$ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k e^2} $$

где $$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$ — постоянная Кулона, $$e$$ — заряд электрона.

Подставим $$r_n$$ в выражение для момента импульса:

$$ m_e v_n \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k e^2} = n \frac{h}{2\pi} $$

$$ v_n \frac{n^2 \hbar^2}{k e^2} = \frac{h}{2\pi} $$

$$ v_n = \frac{h}{2\pi} \frac{k e^2}{n^2 \hbar^2} = \frac{h}{2\pi} \frac{k e^2}{n^2 (h/2\pi)^2} = \frac{k e^2}{n^2 \hbar} = \frac{k e^2}{n^2 (h/2\pi)} $$

$$ v_n = \frac{2\pi k e^2}{n h} = \frac{k e^2}{n \frac{h}{2\pi}} = \frac{k e^2}{n \hbar} $$

Используя $$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$, получаем:

$$ v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 n \hbar} $$