5. Заполните таблицу, используя закон сохранения механической энергии.

Задание 5. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии гласит, что полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергии) остается постоянной, если на тело действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила упругости). В нашем случае, если пренебречь сопротивлением воздуха, то \( E_k + E_p = \text{const} \).

Заполним таблицу, используя эту закономерность.

Заполняем таблицу:

Строка 1:

• Дано: m=4 кг, v=5 м/с, Ек=50 Дж.
• Найдем высоту: \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \) → \( 50 = \frac{1}{2} · 4 · 5^2 \) → \( 50 = 2 · 25 \) → \( 50 = 50 \) (Верно).
• Так как \( E_p = mgh \), но \( E_p \) не дана, мы не можем найти \( h \) из этой строки.

Строка 2:

• Дано: m=2 кг, h=10 м, Еп=200 Дж.
• Проверим Еп: \( E_p = mgh \) → \( 2 · 10 · 10 = 200 \) Дж. (Верно).
• Найдем скорость, если предположить, что полная энергия сохраняется и равна \( E = E_k + E_p \). Из строки 2, \( E = 0 + 200 = 200 \) Дж.
• Если \( E = E_k + E_p \), то \( 200 = \frac{1}{2} · 2 · v^2 \) → \( 200 = v^2 \) → \( v = √200 ≈ 14,14 \) м/с.
• Или, если \( E_k = 0 \) в этой строке, то \( v = 0 \) м/с.

Строка 3:

• Дано: m=10 кг.
• Если предположить, что эта строка — это тот же объект, что и в предыдущих строках, и полная энергия сохраняется, то \( E = 200 \) Дж (из строки 2).
• Тогда \( E_k = \frac{1}{2} · 10 · v^2 = 5v^2 \) и \( E_p = 10 · g · h = 100h \).
• \( 5v^2 + 100h = 200 \).
• Без дополнительных данных, эту строку заполнить невозможно.

Исправленный вариант таблицы с предположением, что это разные объекты, где указаны их характеристики:

Пояснения к заполненной таблице (второй вариант):

Строка 1:

• Дано: m=4 кг, v=5 м/с, Ек=50 Дж.
• Найдем высоту, если предположить, что \( E_p \) равна \( 100 \) Дж (чтобы полная энергия была \( 150 \) Дж). \( E_p = mgh \) → \( 100 = 4 · 10 · h \) → \( h = \frac{100}{40} = 2,5 \) м.
• Если \( E_p = 100 \) Дж, то \( E_k + E_p = 50 + 100 = 150 \) Дж (полная энергия).

Строка 2:

• Дано: m=2 кг, h=10 м, Еп=200 Дж.
• Найдем кинетическую энергию, если полная энергия \( E = 200 \) Дж (только потенциальная).
• \( E_k = E - E_p = 200 - 200 = 0 \) Дж.
• Скорость \( v = 0 \) м/с.

Строка 3:

• Дано: m=10 кг.
• Предположим, что полная энергия \( E = 200 \) Дж (как в строке 2).
• Тогда \( E_k = \frac{1}{2} · 10 · v^2 = 5v^2 \) и \( E_p = 10 · 10 · h = 100h \).
• \( 5v^2 + 100h = 200 \).
• Выберем \( h = 4 \) м. Тогда \( E_p = 100 · 4 = 400 \) Дж. Это больше, чем полная энергия.
• Выберем \( E_k = 100 \) Дж. Тогда \( E_p = 200 - 100 = 100 \) Дж.
• Из \( E_k = 100 \) Дж: \( 5v^2 = 100 \) → \( v^2 = 20 \) → \( v ≈ 4,47 \) м/с.
• Из \( E_p = 100 \) Дж: \( 100 = 10 · 10 · h \) → \( h = \frac{100}{100} = 1 \) м.

Итоговая таблица (наиболее вероятный вариант заполнения):