5. Звезда имеет одинаковую с Солнцем температуру, но ее диаметр в 2 раза меньше солнечного. На каком расстоянии от этой звезды должна находиться планета, чтобы получать от нее столько же энергии, сколько Земля получает от Солнца?

Интенсивность излучения (энергия, получаемая в единицу времени на единицу площади) обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Светимость звезды пропорциональна квадрату её радиуса (так как температура одинакова, а площадь излучающей поверхности пропорциональна квадрату радиуса).

1. Светимость звезды (L_звезда): Пусть радиус Солнца R_солнце, а радиус звезды R_звезда. По условию, R_звезда = 0.5 * R_солнце. Светимость пропорциональна площади поверхности, а значит, L_звезда / L_солнце = (R_звезда / R_солнце)² = (0.5)² = 0.25. То есть, светимость звезды в 4 раза меньше светимости Солнца.
2. Интенсивность излучения: Обозначим расстояние от Земли до Солнца как d_земля, а искомое расстояние от планеты до звезды как d_звезда. Интенсивность излучения, получаемого Землёй от Солнца, пропорциональна L_солнце / d_земля². Интенсивность излучения, получаемого планетой от звезды, пропорциональна L_звезда / d_звезда².
3. Условие: Интенсивность должна быть одинаковой: L_солнце / d_земля² = L_звезда / d_звезда².
4. Подстановка: L_солнце / d_земля² = (0.25 * L_солнце) / d_звезда².
5. Упрощение: 1 / d_земля² = 0.25 / d_звезда².
6. Решение: d_звезда² = 0.25 * d_земля². Следовательно, d_звезда = √(0.25) * d_земля = 0.5 * d_земля.

Ответ: Планета должна находиться на расстоянии в 2 раза меньшем, чем расстояние от Земли до Солнца.