51. (Демо) Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 8.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 2, AD = 8, AB = CD. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит \( \angle BAD = \angle CDA = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABH \( \angle AHB = 90^{\circ} \) и \( \angle BAH = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Таким образом, треугольник ABH — равнобедренный прямоугольный, и \( BH = AH \).

Отрезок AH можно найти, зная основания трапеции: \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Так как \( BH = AH \), то высота трапеции \( BH = 3 \).

Ответ: 3