51. Найдите НОК и НОД чисел: a) 20, 35, 65; б) 14, 42, 54.

Решение:

Необходимо найти НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель) для чисел.

а) 20, 35, 65

Разложим числа на простые множители:

• \( 20 = 2^2 \cdot 5 \)
• \( 35 = 5 \cdot 7 \)
• \( 65 = 5 \cdot 13 \)

НОК(20, 35, 65): Берём все простые множители с наибольшей степенью:

\[ \text{НОК}(20, 35, 65) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 1820 \]

НОД(20, 35, 65): Берём общие простые множители с наименьшей степенью. Общий множитель — 5.

\[ \text{НОД}(20, 35, 65) = 5 \]

б) 14, 42, 54

Разложим числа на простые множители:

• \( 14 = 2 \cdot 7 \)
• \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)
• \( 54 = 2 \cdot 3^3 \)

НОК(14, 42, 54): Берём все простые множители с наибольшей степенью:

\[ \text{НОК}(14, 42, 54) = 2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 2 \cdot 27 \cdot 7 = 378 \]

НОД(14, 42, 54): Берём общие простые множители с наименьшей степенью. Общий множитель — 2.

\[ \text{НОД}(14, 42, 54) = 2 \]

Ответ: а) НОК = 1820, НОД = 5; б) НОК = 378, НОД = 2.