51. По кругу написаны 13 произвольных натуральных чисел. Обязательно ли найдутся два соседних числа, сумма которых чётна?

Да. Если сумма двух чисел чётна, у них одинаковая чётность: оба числа чётные или оба нечётные. Предположим, что никакие соседние числа не имеют одинаковую чётность. Тогда по кругу чётные и нечётные числа должны чередоваться. При обходе круга из 13 чисел чётность после 13 переходов должна вернуться к исходной, но нечётное число переходов при чередовании меняет её. Получили противоречие.

Ответ: обязательно найдутся два соседних числа с чётной суммой.