535. Докажите, что биссектриса треугольника ABC делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. В решении: пусть AD — биссектриса, доказать \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\).

Пусть AD — биссектриса угла A треугольника ABC, а точка D лежит на стороне BC. Тогда нужно доказать:

\[\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.\]

1. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Их высоты, проведённые из вершины A к прямой BC, одинаковы.

2. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

   \[\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.\]

3. Площади этих треугольников можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

   \[S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD,\]

   \[S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\cdot\sin\angle DAC.\]

4. Так как AD — биссектриса, то \(\angle BAD=\angle DAC\). Следовательно, синусы этих углов равны. После сокращения получаем:

   \[\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.\]

5. Значит,

   \[\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.\]

   Перемножая крест-накрест, получаем:

   \[BD\cdot AC=CD\cdot AB,\]

   откуда

   \[\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.\]

Ответ: биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\).