54. Разложите на множители многочлен: a) 4x - x³; б) a⁴ - 169a²; в) c³ - 8c² + 16c.

Решение:

а) 4x - x³

Вынесем общий множитель $$x$$:

$$x(4 - x²) = 0$$

Разность квадратов $$4 - x² = 2² - x²$$ раскладывается как $$(2-x)(2+x)$$:

$$x(2 - x)(2 + x)$$

б) a⁴ - 169a²

Вынесем общий множитель $$a²$$:

$$a²(a² - 169)$$

Разность квадратов $$a² - 169 = a² - 13²$$ раскладывается как $$(a-13)(a+13)$$:

$$a²(a - 13)(a + 13)$$

в) c³ - 8c² + 16c

Вынесем общий множитель $$c$$:

$$c(c² - 8c + 16)$$

Выражение в скобках $$c² - 8c + 16$$ является полным квадратом разности $$(c-4)² = c² - 2 · c · 4 + 4² = c² - 8c + 16$$:

$$c(c - 4)²$$

Ответ:

а) $$x(2 - x)(2 + x)$$; б) $$a²(a - 13)(a + 13)$$; в) $$c(c - 4)²$$.