55. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник ABCD обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем угол ADC: \( \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 134° = 46° \).
2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну дугу CD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle CAD = 81° \).
3. В треугольнике ABD: \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).
4. Угол BCD и угол BAD в сумме дают 180°. \( \angle BCD = 180° - \angle BAD \).
5. Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).
6. В треугольнике BCD: \( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180° \).
7. В треугольнике ABD: \( \angle ABD + \angle BDA + \angle BAD = 180° \).
8. Угол ADC = \( \angle ADB + \angle BDC \).
9. Угол ABC = \( \angle ABD + \angle CBD \).
10. Мы знаем, что \( \angle ABC = 134° \) и \( \angle CBD = 81° \), следовательно \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 134° - 81° = 53° \).

Ответ: 53°.