55. Прямая a пересекает стороны угла A в точках P и Q. Могут ли обе прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой a? Через точку A, не лежащую на прямой a, проведены три прямые, пересекающие прямую a. Докажите, что по крайней мере две проведённые прямые не перпендикулярны к прямой a.

1. Нет, не могут. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому прямые AP и AQ не могут одновременно быть перпендикулярными прямой \(a\).

2. Через точку A к прямой \(a\) можно провести только одну перпендикулярную прямую. Из трёх проведённых прямых не более одной может быть перпендикулярна прямой \(a\). Следовательно, остальные две прямые не перпендикулярны прямой \(a\).

Что и требовалось доказать.