56. На рисунке и в задаче 55 точка O — середина отрезка AB, AT = BP, ∠OAT = ∠OBP. Докажите, что точка O — середина отрезка PT.

1) Так как O — середина отрезка AB, то AO = OB.

2) Рассмотрим треугольники AOT и BOP. Имеем AO = OB, AT = BP и ∠OAT = ∠OBP. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

3) Из равенства треугольников следует, что OT = OP. По рисунку точки P, O и T лежат на одной прямой, поэтому O — середина отрезка PT.